Paradoja de Yablo

Sean α0, α1, α2,…, αn, αn+1 ,… oraciones tales que:

αn= “αn+2, αn+3, αn+4, αn+5,… son falsas”

¿Puede haber una oración verdadera?, ¿todas falsas?
(Revisen bien esta paradoja, la discutiremos el martes 23 en clase)

Paradoja de Grelling-Nelson

La paradoja de Grelling-Nelson es reformulación de la paradoja del barbero y la paradoja de Russell.

La paradoja utiliza las palabras inventadas "autológico" y "heterológico". Una palabra es autológica si se describe a sí misma. Por ejemplo "corto" es autológica, ya que la palabra "corto" es corta. "Sofisticado" también es autológica. Las palabras que no son autológicas se denominan heterológicas. "Largo" es una palabra heterológica, al igual que "monosilábico".

La pregunta que dá lugar a la paradoja es: ¿es "heterológico" heterológico?.
No hay una respuesta consistente: si lo es, entonces no lo es, y si no lo es, entonces lo es.


Paradoja de Berry

Esta paradoja es la aparente contradicción que deriva de frases como ésta:

El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince caracteres.

El siguiente argumento parece probar que esta frase define un único entero positivo N. El número de frases que se pueden formar con menos de quince caractees es finito.

Algunas de estas frases pueden describir un entero positivo específico, por ejemplo "mil trescientos veintisiete", "el primer número primo mayor que cien millones" o "dos elevado a trece". Sin embargo, otras de las frases describen cosas que no son enteros, por ejemplo "William Shakespeare" o "Torre Eiffel". En cualquier caso, el conjunto A de enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es finito. Puesto que A es finito, no puede contener todos los enteros positivos, de modo que tiene que haber un número entero positivo N que sea el menor de todos los números enteros positivos que no están contenidos en A.

Pero la frase que define el número N, tiene sólo catorce palabras. Esto es claramente paradójico, y parece sugerir que "que no se puede definir con menos de quince palabras" no está bien definido. Sin embargo, es posible construir una expresión análoga con lenguaje matemático formal, como ha hecho Gregory Chaitin. A pesar de que la expresión análoga en lenguaje formal no lleva a una contradicción lógica, sí tiene ciertos resultados imposibles, incluyendo un teorema de incompletitud similar al Teorema de la incompletitud de Gödel.