jueves, 10 de junio de 2010
Compuertas Lógicas
Objetivos:
Dar a conocer una breve introducción a la importancia de la lógica de proposiciones en una aplicación denominada COMPUERTAS LÓGICAS .
Asimismo, se conocerán y manejarán aplicaciones de la lógica proposicional en el diseño de circuitos lógicos utilizando la descripción de compuertas lógica
Introducción
Las operaciones lógicas básicas son 3 OR (suma), AND (multiplicación) y NOT (negación). Tomando como base la operación que ejecutan, se le da a cada compuerta su nombre y símbolo en un diagrama, veamos con más detalle cada una de ellas:
La compuerta OR
La siguiente tabla representa la tabla de verdad para una compuerta tipo OR, y su símbolo gráfico.
La operación OR es básicamente una suma, pero como sólo podemos tener 0 o 1, la suma de 1 + 1 será siempre igual a 1. Si nuestra compuerta tuviera más entradas, la operación sería la misma, por ejemplo: Z = A + B + C + D se "traduciría" como Z es igual a A mas B mas C mas D. Z = 1 + 1 +1 + 1 = 1
La Compuerta AND
La siguiente tabla representa la tabla de verdad para una compuerta tipo AND, y su símbolo gráfico es el siguiente:
La operación AND es básicamente una multiplicación, pero como sólo podemos tener 0 o 1, la multiplicación de 1 * 1 siempre será igual a 1. Si nuestra compuerta tuviera más entradas, la operación sería la misma, por ejemplo: Z = A * B * C * D se "traduciría" como: Z es igual a A por B por C por D. Z = 1 *1 * 1* 1 = 1Asegurarse de que explica los beneficios de cada característica para el usuario.
La Compuerta NOT
La siguiente tabla representa la tabla de verdad para una compuerta tipo NOT, y su símbolo asociado es el siguiente:
Comentar cómo diferentes grupos pueden usar el producto o servicio, dando ejemplos de uso reales cuando sea posible.
La tabla de verdad nos lleva a la conclusión de que la salida de una compuerta NOT (Inversora) siempre será el nivel contrario a la entrada
Combinación entre compuertas
Una vez comprendido los resultados que obtenemos con las operaciones de las compuertas lógicas básicas, podemos analizar las combinaciones básicas entre las compuertas. Cada una de las uniones de las tres compuertas básicas, nos dan como resultado dos compuertas más, OR con NOT, y AND con NOT
Otro tipo de compuertas combinadas (no tan básicas ya que incluyen más de dos compuertas) que pueden utilizarse son la compuertas OR y NOR EXCLUSIVAS, veamos cómo están conformadas.
Compuerta NOR
Esta imagen nos muestra el proceso de unión de las compuertas OR y NOT para darnos como resultado la compuerta NOR.
La tabla de verdad que aparece en la siguiente diapositiva nos revela la diferencia entre una compuerta OR y una NOR.
La salida de una compuerta NOR es la inversión (negación) de la salida OR, en cualquier combinación de las entradas.
NOTA: La línea que se encuentra encima de la operación A + B significa negación o inversión.
Calificaciones
No Cuenta Prom Fin Calif
1 99018652 8 8
2 406063896 6,93636364 7
3 99503068 0,16363636 0
4 94122882 0,14545455 0
5 302326994 0 0
6 306305041 6,77272727 7
7 301239936 9,07272727 10
8 304012864 0 0
9 402091844 1,70909091 0
10 409075414 9,15 9
1 99018652 8 8
2 406063896 6,93636364 7
3 99503068 0,16363636 0
4 94122882 0,14545455 0
5 302326994 0 0
6 306305041 6,77272727 7
7 301239936 9,07272727 10
8 304012864 0 0
9 402091844 1,70909091 0
10 409075414 9,15 9
Les informo que el día 4 de Marzo se realizara el primer examen parcial del curso; recuerden que para tener derecho a este deben entregar la tarea que les dio la profesora para este fin.
El examen constara de los temas:
-Lenguaje formal
-Lenguaje objeto y metalenguaje
-Paradojas (Yablo)
-Simbolización
-Tablas de verdad
-Metodos de demostración
-Equivalencias lógicas
-Reducción de fórmulas
El examen constara de los temas:
-Lenguaje formal
-Lenguaje objeto y metalenguaje
-Paradojas (Yablo)
-Simbolización
-Tablas de verdad
-Metodos de demostración
-Equivalencias lógicas
-Reducción de fórmulas
Simbolizar
-Este liquido es acido o base; si fuera acido, volvera rojo el papel tornasol, pero no ha vuelto rojo el papel tornasol, asi que este liquido es base.
-Si me pongo a estudiar, saco bueneas calificaciones; si me alimento bien, crecere sano; saco buenas calificaciones y cresco sano.
Reducir las siguientes formulas
[(P1ΛQ1)→P1] →[( Q1VR1)V(¬Q1Λ¬ R1)]
¬(P1→(¬(Q1 V¬R)V¬(Q1 VR1))
¬[¬(P1→¬Q1)→(R1→R1)]V¬[¬R1→(P1↔Q1)]V¬[¬R1→(Q1→P1)]
-Este liquido es acido o base; si fuera acido, volvera rojo el papel tornasol, pero no ha vuelto rojo el papel tornasol, asi que este liquido es base.
-Si me pongo a estudiar, saco bueneas calificaciones; si me alimento bien, crecere sano; saco buenas calificaciones y cresco sano.
Reducir las siguientes formulas
[(P1ΛQ1)→P1] →[( Q1VR1)V(¬Q1Λ¬ R1)]
¬(P1→(¬(Q1 V¬R)V¬(Q1 VR1))
¬[¬(P1→¬Q1)→(R1→R1)]V¬[¬R1→(P1↔Q1)]V¬[¬R1→(Q1→P1)]
Paradoja de Yablo
Sean α0, α1, α2,…, αn, αn+1 ,… oraciones tales que:
αn= “αn+2, αn+3, αn+4, αn+5,… son falsas”
¿Puede haber una oración verdadera?, ¿todas falsas?
(Revisen bien esta paradoja, la discutiremos el martes 23 en clase)
Paradoja de Grelling-Nelson
La paradoja de Grelling-Nelson es reformulación de la paradoja del barbero y la paradoja de Russell.
La paradoja utiliza las palabras inventadas "autológico" y "heterológico". Una palabra es autológica si se describe a sí misma. Por ejemplo "corto" es autológica, ya que la palabra "corto" es corta. "Sofisticado" también es autológica. Las palabras que no son autológicas se denominan heterológicas. "Largo" es una palabra heterológica, al igual que "monosilábico".
La pregunta que dá lugar a la paradoja es: ¿es "heterológico" heterológico?.
No hay una respuesta consistente: si lo es, entonces no lo es, y si no lo es, entonces lo es.
Paradoja de Berry
Esta paradoja es la aparente contradicción que deriva de frases como ésta:
El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince caracteres.
El siguiente argumento parece probar que esta frase define un único entero positivo N. El número de frases que se pueden formar con menos de quince caractees es finito.
Algunas de estas frases pueden describir un entero positivo específico, por ejemplo "mil trescientos veintisiete", "el primer número primo mayor que cien millones" o "dos elevado a trece". Sin embargo, otras de las frases describen cosas que no son enteros, por ejemplo "William Shakespeare" o "Torre Eiffel". En cualquier caso, el conjunto A de enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es finito. Puesto que A es finito, no puede contener todos los enteros positivos, de modo que tiene que haber un número entero positivo N que sea el menor de todos los números enteros positivos que no están contenidos en A.
Pero la frase que define el número N, tiene sólo catorce palabras. Esto es claramente paradójico, y parece sugerir que "que no se puede definir con menos de quince palabras" no está bien definido. Sin embargo, es posible construir una expresión análoga con lenguaje matemático formal, como ha hecho Gregory Chaitin. A pesar de que la expresión análoga en lenguaje formal no lleva a una contradicción lógica, sí tiene ciertos resultados imposibles, incluyendo un teorema de incompletitud similar al Teorema de la incompletitud de Gödel.
Sean α0, α1, α2,…, αn, αn+1 ,… oraciones tales que:
αn= “αn+2, αn+3, αn+4, αn+5,… son falsas”
¿Puede haber una oración verdadera?, ¿todas falsas?
(Revisen bien esta paradoja, la discutiremos el martes 23 en clase)
Paradoja de Grelling-Nelson
La paradoja de Grelling-Nelson es reformulación de la paradoja del barbero y la paradoja de Russell.
La paradoja utiliza las palabras inventadas "autológico" y "heterológico". Una palabra es autológica si se describe a sí misma. Por ejemplo "corto" es autológica, ya que la palabra "corto" es corta. "Sofisticado" también es autológica. Las palabras que no son autológicas se denominan heterológicas. "Largo" es una palabra heterológica, al igual que "monosilábico".
La pregunta que dá lugar a la paradoja es: ¿es "heterológico" heterológico?.
No hay una respuesta consistente: si lo es, entonces no lo es, y si no lo es, entonces lo es.
Paradoja de Berry
Esta paradoja es la aparente contradicción que deriva de frases como ésta:
El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince caracteres.
El siguiente argumento parece probar que esta frase define un único entero positivo N. El número de frases que se pueden formar con menos de quince caractees es finito.
Algunas de estas frases pueden describir un entero positivo específico, por ejemplo "mil trescientos veintisiete", "el primer número primo mayor que cien millones" o "dos elevado a trece". Sin embargo, otras de las frases describen cosas que no son enteros, por ejemplo "William Shakespeare" o "Torre Eiffel". En cualquier caso, el conjunto A de enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es finito. Puesto que A es finito, no puede contener todos los enteros positivos, de modo que tiene que haber un número entero positivo N que sea el menor de todos los números enteros positivos que no están contenidos en A.
Pero la frase que define el número N, tiene sólo catorce palabras. Esto es claramente paradójico, y parece sugerir que "que no se puede definir con menos de quince palabras" no está bien definido. Sin embargo, es posible construir una expresión análoga con lenguaje matemático formal, como ha hecho Gregory Chaitin. A pesar de que la expresión análoga en lenguaje formal no lleva a una contradicción lógica, sí tiene ciertos resultados imposibles, incluyendo un teorema de incompletitud similar al Teorema de la incompletitud de Gödel.
Temario
I.- Lenguajes Formales.
a) Lenguaje natural y formal.
b) Lenguaje objeto y metalenguaje.
c) Paradojas semanticas y lógicas.
II.- Lógica Proposicional.
a) El Lenguaje Formal "L".
b) Proposiciones simples y compuestas.
c) Simbolización de argumentos.
d) Métodos de demostración.
e) Tablas de verdad.
f) Tautologias, contingentes y contradicciones.
g) Consecuencia lógica
h) Análisis de argumentos.
i) Forma normal conjuntiva y forma normal disyuntiva.
a) Conseptos: Hipótesis, deducción, prueba y teorema.
b) Teorema de la deducción.
IV.- Sistemas Formales.
a) Propiedades del sistema formal "L".
b) Consistecia absoluta y relativa.
c) Completez semántica y sintáctica.
d) Correctez.
e) Independencia de axiomas.
Bibliografía
b) Lenguaje objeto y metalenguaje.
c) Paradojas semanticas y lógicas.
II.- Lógica Proposicional.
b) Proposiciones simples y compuestas.
c) Simbolización de argumentos.
d) Métodos de demostración.
e) Tablas de verdad.
f) Tautologias, contingentes y contradicciones.
g) Consecuencia lógica
h) Análisis de argumentos.
i) Forma normal conjuntiva y forma normal disyuntiva.
III.- Cálculo Proposicional.
a) Conseptos: Hipótesis, deducción, prueba y teorema.
b) Teorema de la deducción.
IV.- Sistemas Formales.
a) Propiedades del sistema formal "L".
b) Consistecia absoluta y relativa.
c) Completez semántica y sintáctica.
d) Correctez.
e) Independencia de axiomas.
Bibliografía
- Mendelson, Elliot. "Introduction to Mathematical Logic". Ed. Van Nostrand.
- Kleene, Stephen Cole. "Mathematical Logic". Ed. Willey.
- Amor Montaño, José Alfredo. "Antologia de Lógica Matemática". Cuadernos de filosofía de las Ciencias. Serie: Textos Seleccionados.
Bienvenida
Mucho gusto les doy la vienvenida a los cursos de Lógica Matemática I; para una mejor colaboración he creado este blog para maximizar la comunicación con respesto a los asuntos del curso como son programas, clases, eventos y evaluaciones entre otras cosas.
Esperando que esto resulte beneficioso para todos les deseo mucha suerte en este nuevo curso.
Esperando que esto resulte beneficioso para todos les deseo mucha suerte en este nuevo curso.
Presentación
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UNIVERIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
CARRERA DE MATEMÁTICO
NOMBRE DE LA MATERIA: LÓGICA MATEMÁTICA I
CARÁCTER: OPTATIVO DE LOS PRIMEROS CUATRO SEMESTRES
MODALIDAD: CURSO
MATERIAS DE PREREQUSITOS SUGERIDAS: Álgebra lineal II, Cálculo Diferencial e Integral IV, Conjuntos y Lógica, Ecuaciones Diferenciales
SERIACIÓN INDICATIVA SUBSECUENTE: Lógica Matemática II
PRESENTACIÓN: La carrera de Matemáticas en la Facultad de Ciencias esta diseñada en la escuela formalista, donde el principal quehacer del Matemático es hacer TEOREMAS, tarea que esta muy relacionada con el análisis lógico de todos los contenidos del resto de las materias, de aquí la importancia de que los alumnos se preparen para la actividad que en futuro será su trabajo cotidiano.
Las aportaciones que se ofrecen en esta materias es la de aclarar que es un método de demostración, cuales son los mas aplicados, y sobre todo a que ejerciten constantemente el ÁNALISIS LÓGICO, materia prima de todo conocimiento matemático.
OBJETIVOS: Que el alumno conozca y maneje el lenguaje de la Lógica Proposicional; que comprenda el concepto de Sistema Formal y conozca y maneje un Cálculo Proposicional. Asimismo, que se inicie en el concepto de consecuencia lógica y algunos métodos de decisión.
ACCIÓN:
Presentación general: Nombre del curso, nivel, introducción, presentación del “blog”, objetivos, contenido temático, dinámica de las sesiones teóricas y dinámica de las sesiones con el ayudante (sesiones prácticas o solo de ejercicios), forma de avaluar y bibliografía general y por unidad temática.
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
El alumno identificará los objetivos del curso y los métodos que la Lógica Matemática le proporcionará para así poderlos aplicar en otras materias de su carrera, además de dar a conocer los elementos electrónicos de apoyo para la enseñanza de esta asignatura.
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
Comprender y entender el marco general de la presentación de la asignatura.
Preguntar si no esta claro el qué y el cómo.
CONTENIDO TEMÁTICO: En primera instancia se basará en el conocimiento y manejo de la Lógica Proposicional, y por último la presentación de un Cálculo Proposicional.
ENFOQUES TEÓRICOS: Método axiomático y la teoría de la demostración.
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